En trigonometría, las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas, siempre que las expresiones en ambos lados de la ecuación estén definidas. Estas identidades son herramientas esenciales en el estudio de la trigonometría, ya que permiten simplificar expresiones trigonométricas, resolver ecuaciones trigonométricas y probar otras identidades.
Existen varias identidades trigonométricas, pero dos categorías principales son las identidades recíprocas y las identidades pitagóricas. Las identidades recíprocas relacionan las seis funciones trigonométricas básicas⁚ seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Las identidades pitagóricas se derivan del teorema de Pitágoras y relacionan las funciones trigonométricas cuadradas.
Identidades recíprocas
Las identidades recíprocas son las siguientes⁚
- csc θ = 1/sin θ
- sec θ = 1/cos θ
- cot θ = 1/tan θ
Identidades pitagóricas
Las identidades pitagóricas son las siguientes⁚
- sin2 θ + cos2 θ = 1
- 1 + tan2 θ = sec2 θ
- 1 + cot2 θ = csc2 θ
Expresar el seno en términos de secante o cosecante
Para expresar el seno en términos de secante o cosecante, podemos utilizar las identidades recíprocas y pitagóricas.
Usando la identidad recíproca de la cosecante
La identidad recíproca de la cosecante establece que csc θ = 1/sin θ. Resolviendo para sin θ, obtenemos⁚
sin θ = 1/csc θ
Usando la identidad pitagórica
La identidad pitagórica sin2 θ + cos2 θ = 1 se puede escribir como⁚
sin2 θ = 1 — cos2 θ
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos⁚
sin θ = ±√(1 — cos2 θ)
Usando la identidad recíproca sec θ = 1/cos θ, podemos reemplazar cos2 θ con 1/sec2 θ⁚
sin θ = ±√(1 ⏤ 1/sec2 θ)
Simplificando la expresión, obtenemos⁚
sin θ = ±√((sec2 θ ⏤ 1)/sec2 θ)
Por lo tanto, hemos expresado el seno en términos de secante.
En resumen
Podemos expresar el seno en términos de secante o cosecante usando las identidades recíprocas y pitagóricas. La expresión para sin θ en términos de secante es⁚
sin θ = 1/csc θ o sin θ = ±√((sec2 θ, 1)/sec2 θ)
Estas expresiones son útiles para simplificar expresiones trigonométricas, resolver ecuaciones trigonométricas y probar otras identidades.
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